જો $1 + x^4 + x^5 = \sum\limits_{i = 0}^5 a_i (1 + x)^i$ એ $\mathbb{R}$ માં તમામ $x$ માટે હોય,તો $a_2$ શું થાય?

જો $f(x)=(2011+x)^n$ હોય,જ્યાં $x$ એ વાસ્તવિક ચલ છે અને $n$ એ ધન પૂર્ણાંક છે,તો $f(0)+f^{\prime}(0)+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !}+\ldots+\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1) !}$ નું મૂલ્ય શું છે?

જો $x$ એટલું નાનું હોય કે $x^3$ અને $x$ ની મોટી ઘાતોને અવગણી શકાય,તો $\frac{(1 + x)^{3/2} - (1 + \frac{1}{2}x)^3}{(1 - x)^{1/2}}$ ની આશરે કિંમત શું થાય?

$(1+x)^{500} + x(1+x)^{499} + x^2(1+x)^{498} + \ldots + x^{500}$ માં $x^{301}$ નો સહગુણક શું છે?

વાસ્તવિક સંખ્યા $r$ માટે,$[r]$ એ $r$ થી નાની અથવા તેના જેટલી સૌથી મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે. ધારો કે $a > 1$ એ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે જે પૂર્ણાંક નથી,અને $k$ એ સૌથી નાની ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે જેથી $[a^k] > [a]^k$ થાય. તો,નીચેનામાંથી કયું વિધાન હંમેશા સાચું છે?

ધારો કે $n > 2$ એક પૂર્ણાંક છે અને બહુપદી $p(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$ પૂર્ણાંકો છે. ધારો કે આપણે જાણીએ છીએ કે $n p(x) = (1 + x) p'(x)$. જો $b = p(1)$ હોય,તો: